修水县 卓资县 澄江县 瑞丽市 五寨县 威远县 凤庆县 兴隆县 航空 和龙市 永丰县 乌拉特后旗 柯坪县 武功县 来凤县 菏泽市

贷款买房问题

  2019-08-21来源:网络

  原标题:贷款买房问题

数学贷款买房问题
一、抵押贷款买房问题
相关背景
谁都希望有一套属于自己的住房,但又没有足够的资金一次买下,这就产生了贷款买房的问题。下面是2019-08-21某大城市晚报上登的一则广告.
名流花园用薪金,买高品质住房
对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房,简直是天方夜谭.现在有这样一栋:自备款只需七万人民币,其余由银行贷款,分五年还清.相当于每月只需付1200人民币。那么,这对于您还有什么问题呢?N稳丝戳苏庠蚬愀娑蓟岵矶嘁晌?,且不谈广告上没有谈住房面积、设施等,人们关心的是:如果一次付款买这套房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎么算出来的?
因为我们都知道,若知道了一次付款买分房的价格,如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解析决,只要知道利息,就可以算出5年还与清,每月要付多少钱才能按时还清贷款,建从而也就可以对是否要去买该广告中所模说的房子做出决策了。
需要借多少钱,用
A0
记;
每月还多少钱用x记;
月利率用记R(贷款通常按复利计);
借期记为N个月。
若用Ak记第k个月时尚欠的款数,则一个月后(加上利息)欠款(1?R)Ak,不过又还了x元所以总的款数为
Ak?1?(1?R)Ak?x,k?0,1,2,3...
而一开始的借款为A0,所以该问题可用数学表达式表示如下
?Ak?1?(1?R)Ak?x,k?0,1,2,3...??A0,已知(不妨假设A0为已知)
(1.1)

A1?(1?R)A0?x,
A2?(1?R)A1?x?(1?R)[(1?R)A0?x]?x?(1?R)A0?x[(1?R)?1],
2
递推得
Ak?(1?R)A0?x[(1?R)
k
k?1
?(1?R)
k?2
?...?(1?R)?1]
?(1?R)A0?
k
xR
[(1?R)?1],
k

Ak?(A0?
xR
)(1?R)?
k
xR
A这就是Ak,0,x,R之间的显式关系,是迭代关系(1.1)的解。
针对广告中的情形,N=5年=60个月,每月还款x=1200元,已知。但A即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款,0并没有告诉你.此外银行贷款利率R也没有告诉你,这造成决策的困难.然而,由(1.2)可知60个月后还清,即A60=0,从而得120060600?A0(1?R)?[(1?R)?1]R
R(1?R)(1.3)式表示N=60,x=1200给定时A0和R之间的关系式,如果我们已经知道银行的贷款利息R,就可以算出A0。例如,若R=0.01,则由(1.3)式子可算得=52946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价小于70000+53946=123946元的话,你就应自己去银行贷款。事实上,利用Maple等数学软件可把(1.3)式的图形画出来,从而可徻行估算决策。
60
A0?
1200[(1?R)
60
?1]
,
(1.3)
例1某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0.01,贷款期25年=300月,这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱,25年后就可以还清,假设这对夫妇每月可有节余700元,是否可以去买房呢?解:现在的问题就是要求使得A
300
=0的x,由(1.2)式知
x?
A0R(1?R)
k
k
(1?R)?1
现在A0=60000,R=0.01,k=300,利用Maple等数学软件,容易算得x=632元700元,着说明该夫妇有买房能力。
例二:恰此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告:“若借款60000元,22年还清,只要
(i)每半个月还316元;
(ii)由于文书工作多了的关系要你预付3个月的款,即316*6=1896元。
这对夫妇想:提前3年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是632元,只不过多跑一趟去交款罢了;要预付1896元,当然使人不高兴,但提前3年还清省下来的钱可是22752元哟,是1896元的十几倍?。≌饧夜臼谴壬苹鼓鼗故侨匀灰颐堑那兀空舛苑蚋厩肽愀且桓雎獾幕卮?。
解先就(i)(ii)两条作一个粗略的分析,可先独立分析(i)和(ii)看看能否缩短归还期。
分析(i),这时A0=60000不变,x=316,月利率变为半月利率可粗略地认为刚好是原R的一半,即R=0.005(这样取R是否合理?请思考实际情况是怎么样的)于是由(1.2)式求出的归还期N,即由AN=0求N,利用Maple数学软件可解得
ln(N?
xx?A0R
)
ln(1?R)
即M=598(半个月)=24.92年,即只能提前大约1个月还清。由此可见,该借贷公司如果只有第1个条件的话,那他只能是慈善机构了。分析(ii),这时=60000-1896=58104,这时你只借仂8104元,而不是60000元,可以按问题中银行贷款的条件算一算,即令x=632元(每月还款),R=0.01(月息),求使得=0的N,来看看能否提前还清。用Maple数学软件,计算得N=21.09年,即实际上提前近四年就可还清,该公司只要去同样的银行贷款,即使半个月收来的316元不动,再过半个月合在一起去交给银行,它还可坐收第22年的款近7000元,更何况它可以利用收到的贷款去做短期(半个月内)的投资赚取额外的钱,当你把这种初步分析告诉这对年轻夫妇后,他们一定会恍然大悟,从而作出正确的决策!
当然在实际生活中的贷款买房问题要复杂的多,但上述问题的数学方法仍然具有指导性。
贷款买房问题的进一步讨论
?等额本息法
等额本息是指一种购房贷款的还款方式,是在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。前面我们推导的就是等额本息法的公式。
每月还款额计算公式如下:
[贷款本金×月利率×(1+月利率)^还款月数]÷[(1+月利率)^还款月数-1]假定借款人从银行获得一笔20万元的个人住房贷款,贷款期限20年,贷款月利率4.2‰,每月还本付息。按照上述公式计算,每月应偿还本息和为1324.33元。上述结果只给出了每月应付的本息和,因此需要对这个本息和进行分解。仍以上例为基?。桓鲈挛黄?,第一期贷款余额20万元,应支付利息840.00元(200000×4.2‰),所以只能归还本金484.33元,仍欠银行贷款199515.67元;第二期应支付利息837.97元(199515.67×4.2‰),归还本金486.37元,仍欠银行贷款199029.30元,以此类推。此种还款模式相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多,还款初期利息占每月供款的大部分,随本金逐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定,可以有计划地控制家庭收入的支出,也便于每个家庭根据自己的收入情况,确定还贷能力。该方法比较适用于现期收入少,预期收入将稳定或增加的借款人,或预算清晰的人士和收入稳定的人士,一般为青年人,特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法,以避免初期太大的供款压力。
等额本息还款表
以最新贷款基准利率为准,以万元贷款为例,不同年限的贷款每月还款金额为:
贷款年限123年利率%5.315.405.40月利率‰4.4254.5004.500月还款额(元)利随本清440.51301.51贷款年限161718年利率%5.945.945.94月利率‰4.9504.9504.950月还款额80.8277.9875.48
4
56789101112
5.76
5.765.945.945.945.945.945.945.94
4.800
4.8004.9504.9504.9504.9504.9504.9504.950
233.75
192.21165.45145.8131.12119.76110.72103.3697.27
19
2021222324252627
5.94
5.945.945.945.945.945.945.945.94
4.950
4.9504.9504.9504.9504.9504.9504.9504.950
73.27
71.369.5467.9566.5365.2464.066362.02
13
1415
5.94
5.945.94
4.950
4.9504.950
92.16
87.884.06
28
2930
5.94
5.945.94
4.950
4.9504.950
61.13
60.3259.57
还款法利息计算
等额本息还款法的利息计算:等额本息还贷,先算每月还贷本息:BX=a*i(1+i)^N/[(1+i)^N-1]等额本息还贷第n个月还贷本金:B=a*i(1+i)^(n-1)/[(1+i)^N-1]等额本息还贷第n个月还贷利息:X=BX-B=a*i(1+i)^N/[(1+i)^N-1]-a*i(1+i)^(n-1)/[(1+i)^N-1](注:BX=等额本息还贷每月所还本金和利息总额,B=等额本息还贷每月所还本金,a=贷款总金额i=贷款月利率,N=还贷总月数,n=第n期还贷数X=等额本息还贷每月所还的利息)
?等额本金法
等额本金是指一种贷款的还款方式,是在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,这样由于每月的还款本金额固定,而利息越来越少,贷款人起初还款压力较大,但是随时间的推移每月还款数也越来越少。
等额本金贷款计算公式:
每月还款金额=(贷款本金/还款月数)+(本金-已归还本金累计额)×每月利率
等额本金还款法还款金额:每月应还本金:a/n每月应还利息:an*i/30*dn每月应还总金额:a/n+an*i/30*dn(注:a:贷款本金,i:贷款月利率,n:贷款月数,an:第n个月贷款剩余本金,a1=a,a2=a-a/n,a3=a-2*a/n...以次类推an第n个月的实际天数,如平年2月为28,3月为31,4月为30,以次类推)等额本金还款法利息计算每月应还利息:an*i/30*dn
等额本金与等额本息还款法对比
等额本息还款法特点:等额本息还款法本金逐月递增,利息逐月递减,月还款数不变;相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多,还款初期利息占每月供款的大部分,随本金逐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定,可以有计划地控制家庭收入的支出,也便于每个家庭根据自己的收入情况,确定还贷能力。等额本金还款法特点:等额本金还款法本金保持相同,利息逐月递减,月还款数递减;由于每月的还款本金额固定,而利息越来越少,贷款人起初还款压力较大,但是随时间的推移每月还款数也越来越少。二者相比,在贷款期限、金额和利率相同的情况下,在还款初期,等额本金还款方式每月归还的金额要大于等额本息。但按照整个还款期计算,等额本金还款方式会节省贷款利息的支出。总体来讲,等额本金还款方式适合有一定经济基?。艹械G捌诮洗蠡箍钛沽?,且有提前还款计划的借款人。等额本息还款方式因每月归还相同的款项,方便安排收支,适合经济条件不允许前期还款投入过大,收入处于较稳定状态的借款人。两种还款方法比较,最终到期算,等额本息比等额本金要多付出可观利息。